[Proposed, I] Un peu d'ordre s'il vous plait!


  • Math&Maroc

    Soit p>2p\gt2 un premier. Soit qq et rr deux premiers tel que pqr+1p|q^r+1. Montrez que soit 2rp12r|p-1 soit pq21p|q^2-1.



  • On a qr1[p]q^r \doteq -1[p] donc q2r1[p]q^{2r} \doteq 1[p] donc 2rϕ(p)=p12r| \phi(p)= p-1 Ou bien q21[p]q^2 \doteq 1[p] qu on peut reformuler pq21p|q^2-1
    P.S ϕ(n)\phi(n) désigne l indicatrice d euler
    CQFDCQFD


  • Math&Maroc

    Trop rapide Mamoun, il faut préciser les arguments!
    On pose dd l'ordre de qq modulo pp (ie le plus petit élément xx tel que qx1[p]q^x \equiv 1 [p])
    q2r1[p]q^{2r} \equiv 1 [p] donc d2rd|2r (Lemme facile à démontrer).
    rr est premier donc d=2rd=2r, d=2d=2 ou d=rd=r.
    Si d=2d=2 alors q21[p]q^2 \equiv 1 [p] par définition de dd.
    Sinon, vu que qr=1[p]q^r=-1[p] alors d=2rd=2r. Le petit théoreme de Fermat montre que qp11[p]q^{p-1} \equiv 1 [p] donc 2rp12r|p-1. (Par le même lemme)
    Ok c'est un peu trop détaillé mais bon ;)

    Autre question qui se démontre de la même façon:

    Soit a>1a \gt 1 et nn un entier. Montrer que si pp est un diviseur premier de a2n+1a^{2^n}+1, alors 2n+12^{n+1} divise p1p-1.


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