[Proposed, III] Inégalité avec condition


  • Math&Maroc

    Soit a,b,c,d>0a,b,c,d\gt0 tel que a+b+c+d=4a+b+c+d=4. Montrez que
    a2+b2+c2+d24(a1)(b1)(c1)(d1)a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 4(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)

    Par Pham Kim Hung



  • Une petite étude sur le signe de RHSRHS nous laisse comme seul cas à traiter par symétrié
    00<aa \leq bb<11 <cc \leq dd <33
    On pose a1=xa-1=x et b1=yb-1=y et c1=zc-1=z et d1=td-1=t
    On aura alors 1-1<xx \leq yy<00 <zz \leq tt <22 et x+y+z+t=0x+y+z+t=0
    L inégalité s'écrit alors (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2+(t+1)24xyzt (x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2+(t+1)^2 \geq 4xyzt
    Qui équivaut à x2+y2+z2+t2+44xyztx^2+y^2+z^2+t^2+4 \geq 4xyzt
    Hors on x2+1+y2+1+z2+1+t2+18xyztx^2+1+y^2+1+z^2+1+t^2+1\geq 8 \sqrt {\sqrt{xyzt}}
    Il suffit donc de prouver que 8xyzt4xyzt 8 \sqrt {\sqrt{xyzt}} \geq 4xyzt
    Equivalent à xyzt2.23xyzt \leq 2 . \sqrt[3]{2} Ce qui est vrai
    CQFDCQFD
    (Je n en suis pas tres sur si quelque peut me corriger)


  • Math&Maroc

    @Mamoun Pourquoi xyzt2.23 xyzt \leq 2. \sqrt[3]{2} ?



  • @Amine-Bennouna
    On a 2x+y0-2\leq x+y \leq 0 donc 2zt0-2\leq -z-t \leq 0 Donc 0z+t20\leq z+t \leq 2
    Donc 2z+t2zt2\geq z+t \geq 2\sqrt{zt} donc zt1zt \leq 1 donc xyzt1xyzt \leq 1 ...


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