[Proposed, Niv2]


  • Math&Maroc

    Soient x1,,xnx_1,\cdots,x_n des nombres réels positifs tels que x1xn=1x_1\cdots x_n=1. Prouver que
    x1++xn21+x1++21+xnx_1+\cdots+x_n \geq \frac{2}{1+x_1}+\cdots+ \frac{2}{1+x_n}
    Cas d'égalité ?

    Par Pham Kim Hung



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  • Je propose une solution très élégante ! ( Non je rigole moche , ennuyeuse et tres calculatoire )
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  • N.B On peut également supposer WLOGWLOG que xn1x_n\geq 1 et xn+11x_{n+1}\leq 1 et démontrer la derniere inégalité sans passer par tous ces calculs^^; ce qui rend la solution élégante ^^


  • Math&Maroc

    @Mamoun Je ne vois pas d'où sort le xnxn+1x_nx_{n+1} ligne 5.



  • @Amine-Bennouna Oups je l ai ajouté des deux cotés normalement mais j ai ommmis de l ecrire à droite il réaparrait dans la ligne 10^^^


  • Math&Maroc

    @Mamoun En te faisant confiance sur le calcul qui suit l'introduction de u,vu,v, le preuve est correcte!
    J'aimerai souligner l'utilisation de la factorisation bien utile: a+bab1=(1a)(b1)a+b-ab-1=(1-a)(b-1)

    L'avantage de ta solution est d’être naturelle Mamoun, voici la solution que propose le concepteur de l'inégalité:
    On a 22xi+1=2xixi+12-\frac{2}{x_i+1}=\frac{2x_i}{x_i+1}, donc il suffit de démontrer que:
    xi+2xixi+12n\sum{x_i} +\sum{ \frac{2x_i}{x_i+1}} \geq 2n
    On a:
    2n+xi+2xixi+1=2n+(xi+12+2xi1+xi)+xi12 -2n + \sum{x_i} +\sum{ \frac{2x_i}{x_i+1}} = -2n+\sum{(\frac{x_i+1}{2}+\frac{2x_i}{1+x_i})}+\sum{\frac{x_i-1}{2}}
    En utilisant l'IAG sur (xi+12+2xi1+xi)(\frac{x_i+1}{2}+\frac{2x_i}{1+x_i}):
    5n2+2xi+12+xi\geq -\frac{5n}{2}+\sum{2\sqrt{x_i}} +\frac{1}{2}+\sum{x_i}
    En utilisant l'IAG sur xi\sum{\sqrt{x_i}} et xi\sum{x_i}:
    5n2+2nxi2n+n2xin=0\geq -\frac{5n}{2}+2n\sqrt[2n]{\prod x_i}+\frac{n}{2}\sqrt[n]{\prod x_i}=0

    Egalité pour x1=...=xn=1x_1=...=x_n=1


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