[Proposed, Niv 2] Macedonian Mathematical Olympiad


  • Math&Maroc

    Trouvez toutes les fonctions f:RR f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} telles que x,yR. \forall x, y \in\mathbb R.
    f(x3+y3)=x2f(x)+yf(y2) f (x^{3} + y^{3}) = x^{2}f (x) + yf (y^{2})

    Macedonian Mathematical Olympiad 2007



  • La fonction nulle et la fonction affine remplissent les conditions de l exercice.
    On va prouver que ce sont les seules
    P(0,0)f(0)=0P(0,0)\Rightarrow f(0)=0
    P(x,0)f(x3)=x2f(x)P(x,0) \Rightarrow f(x^3)=x^2f(x) et P(0,x)f(x3)=xf(x2)P(0,x)\Rightarrow f(x^3)=xf(x^2)
    Ce qui donne f(x2)=xf(x)f(x^2)=xf(x)
    Et f(x3+y3)=f(x3)+f(y3)f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3) donc ff additive. ( g(x)=x3g(x)=x^3 est surjective)
    Donc f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)
    Si la fonction ff est solution alors cfc*f est également solution.
    Donc on peut supposer que f(1)=0f(1)=0 ou f(1)=1f(1)=1
    Si f(1)=1f(1)=1 Alors P(x+1,0)xf(x)+2f(x)=x2+2xP(x+1,0)\Rightarrow xf(x)+2f(x)=x^2+2x ( Apres quelques computations et l utilisation de l additivité de ff
    P(x+2,0)xf(x)+3f(x)=x2+3xP(x+2,0)\Rightarrow xf(x)+3f(x)=x^2+3x
    On en déduit que f(x)=xf(x)=x
    Donc f(x)=cxf(x)=cx
    Cas2Cas 2 f(1)=0f(1)=0
    P(x+1,0)f(x)=0P(x+1,0) \Rightarrow f(x)=0
    CQFDCQFD


  • Math&Maroc

    @Mamoun Parfait! Finalement c'est plutôt un Niv1 :P



  • @Amine-Bennouna Oui il suffit d'avoir l'idée que l on peut fixer la valeur de f(1)f(1)


  • Math&Maroc

    @Mamoun Je m'attendais que quelqu'un tombe dans le piège de: "C'est l'équation de Cauchy donc ff est linéaire".



  • @Amine-Bennouna Haha j'ai essayé au début de démontrer que ff est croissante sur R+R+ pour passer par Cauchy mais je n y suis pas arrivé


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