Exercice 1



  • 25 personnes sont assises à une table dans un restaurant. Chaque personne tient une carte qui porte un nombre entre 1 et 25 sans que deux personnes aient le même nombre. Prouver que peu importe la manière dont ces personnes sont assises, on pourra toujours trouver 3 personnes, l'une a coté de l'autre, tel que la somme des nombres de ses cartes est supérieure ou égale à 39.



  • Supposons que la somme de toutes les cartes des triplets de personnes adjacentes est strictement inférieure à 39. Placons tous les personnes pi dans un cercle . Considérons les triplets (pi1,pi,pi+1) (p_{i-1},p_{i} , p_{i+1} ) . ( tel que p1=p26 p_{1}= p_{26} et p25=p0) p_{25} =p_{0} ) on peut donc former 25 triplets de personnes adjacentes de la sorte tel que chaque personne apparait exactement 3 fois dans les triplets . On note S la somme totale des nombres sur les cartes on alors aura 3S 3S < 39×25=975 39\times25=975 . Hors S=(2625)/2=325 S = (26*25)/2=325 donc 3S=975 3S=975 Contradiction! Donc on peut toujours trouver au moins 3 personnes adjacentes tel que la somme des nombres de leurs cartes est supérrieure ou égale à 3939


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