Equation fonctionnelle [Unsolved]



  • Déterminer toutes les fonctions f:RRf: \mathbb{R}\to \mathbb{R} telles que pour tout réels x,y :
    f(x2+f(y))=y+(f(x))2f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2


  • Math&Maroc

    soit P(x,y)P(x,y) L' assertion f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2 on note c=f(0)c=f(0)
    on a P(0,y)P(0,y) implique f(f(y))=y+c2 f(f(y))=y+c^2
    P(x,0)P(x,0) implique f(x2+c)=f(x)2f(x^2+c)=f(x)^2 note que f est alors bijective
    P(x;f(x))P(x;f(x)) implique f(x2+f(f(x))=f(x)+f(x)2f(x^2+ f(f(x))=f(x)+f(x)^2 donc f(x2+x+c)=f(x)+f(x)2f(x^2 +x+c)=f(x)+f(x)^2
    pour x=0x=0 on a f(c)=c2=c+c2f(c)=c^2=c+c^2 donc c=f(0)=0c=f(0)=0
    d'ou f(x2)=f(x)20f(x^2)=f(x)^2\geq0 pour tout x0x\geq0 et f(f(x))=xf(f(x))=x et puisque f(x2+x)=f(x)+f(x2)f(x^2 +x)=f(x)+f(x^2) donc f est un fonction additive lineaire donc f(x)=xf(x)=x
    j'espere qe c'est juste



  • @Mohammed-Jamal comment tu as trouve que f est bijective ??


  • Math&Maroc

    On considère l'assertion :
    P(x,y):f(x2+f(y))=f(x)2+y. P(x,y): f(x^2+f(y))=f(x)^2+y.

    [1]-- ff est bijective :
    P(0,xf(0)2):f(f(xf(0)2))=x.P(0,x-f(0)^2) : f(f(x-f(0)^2))=x. d'où le résultat.

    [2]-- f(0)=0f(0)=0 :
    Soit α\alpha tels que f(α)=0,f(\alpha)=0,
    P(α,0)P(α,0)α=0.P(\alpha,0)-P(-\alpha,0) \Rightarrow \alpha=0.

    [3]-- (xR):f(f(x))=x(\forall x \in \mathbb{R}) : f(f(x))=x et f(x2)=f(x)2f(x^2)=f(x)^2 :
    P(0,x)f(f(x))=xP(0,x) \Rightarrow f(f(x))=x

    P(x,0)f(x2)=f(x)2P(x,0) \Rightarrow f(x^2)=f(x)^2

    [4]-- (x,yR):f(x+y)=f(x)+f(y)(\forall x,y \in \mathbb{R}) : f(x+y)=f(x)+f(y)
    On a d'après [3] :
    P(x,f(y))f(x2+y)=f(x)2+f(y)=f(x2)+f(y)P(x,f(y)) \Rightarrow f(x^2+y)=f(x)^2+f(y)=f(x^2)+f(y)
    donc (x0)(yR):f(x+y)=f(x)+f(y)(\forall x \geq 0)(\forall y \in \mathbb{R}) : f(x+y)=f(x)+f(y)
    Soit x0x\geq 0, on prend y=x:f(x)=f(x)y=-x : f(-x)=-f(x) donc ff impair et d'où:
    (x,yR):f(x+y)=f(x)+f(y).(\forall x,y \in \mathbb{R}): f(x+y)=f(x)+f(y).

    [5]-- (x,yR):f(xy)=f(x)f(y):(\forall x,y \in \mathbb{R}) : f(xy)=f(x)f(y) : d'après [3] et [4]
    f((x+y)2)=f(x+y)2f(x2+2xy+y2)=(f(x)+f(y))2f((x+y)^2)=f(x+y)^2 \Rightarrow f(x^2+2xy+y^2)=(f(x)+f(y))^2
    donc f(x)2+2f(xy)+f(y)2=f(x)2+2f(x)f(y)+f(y)2f(xy)=f(x)f(y).f(x)^2+2f(xy)+f(y)^2=f(x)^2+2f(x)f(y)+f(y)^2\Rightarrow f(xy)=f(x)f(y).

    [6]-- La seule solution est f(x)=xf(x)=x
    (En effet les conditions [4] et [5] suffisent pour résoudre l'exercice, ils nous rappelle une équation fonctionnelle classique que vous devez connaitre! je la propose alors comme exercice, je vous encourage à le résoudre)

    Exercice: Trouver toutes les fonctions f:RRf:\mathbb{R} \to \mathbb{R} vérifiant :
    f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)

    f(xy)=f(x)f(y)f(xy)=f(x)f(y)
    pour tout x,yR.x,y \in \mathbb{R}.


  • Math&Maroc

    @Tähä-Britäl du fait que f(f(x))=x+c2f(f(x))=x+c^2 donc f(f(xc2))=xf(f(x-c^2))=x


  • Math&Maroc

    @Amine-Natik pouvez vous verifier si ma solution est juste ou s'il y'a des fautes?


  • Math&Maroc

    @Mohammed-Jamal
    f(x2)=f(x)20f(x^2)=f(x)^2\geq0 pour tout x0x\geq0 et f(f(x))=xf(f(x))=x et puisque f(x2+x)=f(x)+f(x2)f(x^2 +x)=f(x)+f(x^2) donc f est un fonction additive lineaire donc f(x)=xf(x)=x

    tu peux expliquer ce passage ?

    • comment tu as montré que ff est additive ?
    • a-t-on toujours ff additive \Rightarrow ff linéaire ?

  • Math&Maroc

    @Amine-Natik on a f(x2+x)=f(x)+f(x2)f(x^2+x)=f(x)+f(x^2) on pose y=x2y=x^2 donc f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)


  • Math&Maroc

    @Mohammed-Jamal

    Non! une fonction additive par définition c'est :
    (x,yR):f(x+y)=f(x)+f(y) (\forall x,y \in \mathbb{R}): f(x+y)=f(x)+f(y)
    f(x+x2)=f(x)+f(x2)f(x+x^2)=f(x)+f(x^2) si tu poses y=x2y=x^2 alors tu as fixé la valeur de yy ! ça veut dire que f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) mais seulement pour y=x2y=x^2! tu vois ?


  • Math&Maroc

    @Amine-Natik d'une autre part même si tu arrives à montrer que f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout xx et yy ce n'est pas fini ! ceci n'implique pas toujours que ff est linéaire !


  • Math&Maroc

    @Amine-Natik oui tout ce que je sais c'est qu'un fonction additive est une fonction qui verifie l'equation de Caushy


  • Math&Maroc

    Alors là je vais t'expliquer,
    On dit qu'une fonction est additive ( ou de Cauchy ) si :
    (x,yR):f(x+y)=f(x)+f(y)(\forall x,y \in \mathbb{R}): f(x+y)=f(x)+f(y)

    On dit qu'une fonction ff est linéaire si il existe aRa\in \mathbb{R} tels que f(x)=axf(x)=ax pour tout xR.x\in \mathbb{R}.

    Quelques propriétés :

    • ff additive + Continue \Rightarrow ff linéaire
    • ff additive + Monotone \Rightarrow ff linéaire
    • ff additive + Bornée sur un segment \Rightarrow ff linéaire

  • Math&Maroc

    @Amine-Natik merci monsieur et pour une fonction multiplicative aussi si f est à la fois multiplicative et additive alors f est lineaire?


  • Math&Maroc

    oui c'est une équation fonctionnelle classique, mais c'est pas une propriété!



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