[unsolved]



  • Soit ABCDEFABCDEF un hexagone régulier, MM un point de la diagonale ACAC et NN un point
    de CECE tels que AMAC\frac{AM}{AC} =CNCE\frac{CN}{CE} = rr
    Que dire de rr si BB,MM et NN sont alignés
    ?


  • Math&Maroc

    @Mohammed-Jamal ACAC et CECE sont egaux, la condition est alors: AM=CNAM=CN. Il est plutot claire qu'il ne peut exister qu'un seul tel couple (M,N)(M,N) pour lequel (MN)(MN) passe par BB. Je propose alors que ce couple special est obtenu en prenant l'intersection de (BP)(BP) avec (CE)(CE) et (CA)(CA), que j'appelle encore NN et MM respectivement, ou PP est le milieu du petit arc EDED, du cercle circonscrit du hexagon. En d'autre termes, BPBP est la bisectrice de l'angle EBD\angle{EBD}. Il suffit alors de montrer qu'avec cette construction: AM=CNAM=CN. Ceci par contre est assez simple: Une chasse d'angle montre tout d'abord que BNC=NBC=45\angle{BNC}=\angle{NBC}=45, donc CN=CB=ABCN=CB=AB, Or BAM=30\angle{BAM}=30 et MBA=75\angle{MBA}=75, ainsi MA=BAMA=BA, d'ou MA=NCMA=NC, comme voulue. Calculer la valeur de rr maintenant n'est qu'un petit calcul que je te laisse faire.


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