difficult NT[unsolved]



  • resoudre dans N* l'equation suivante y818x=2zy^8- 18^x = 2^z



  • est ce que c'est juste ??
    on a par mod 2, yy est pair on sibstitue y=2y1y=2y_1 et par un descente infinie on obtient y=0y=0 ce qui est impossible



  • @Mohammed-Jamal Comment operes tu cette descente?



  • @Mamoun j'ai trouve que y est divsible par 2.2............22.2............2 dans l'infini



  • @Mamoun y doit etre nul ou 2n2^n


  • Math&Maroc

    Commencer par decomposer y=2aby=2^ab et soit s=min{8a,x}s=\min\{8a,x\}. Alors szs\leq z et:
    2zs=28asb82xs9x2^{z-s}=2^{8a-s}b^8-2^{x-s}9^{x}
    cas 1 Si z=sz=s et 8ax8a\geq x, on pose c=8axc=8a-x et l'equation devient:
    2cb2=1+9x2^cb^2=1+9^x
    Or 1+9x2  [4]1+9^x \equiv 2\ \ [4], ainsi c=1c=1, donc xx est impaire et l'equation se reecrit:
    2b8=1+9x2b^8=1+9^x
    Qu'on peut reecrire comme:
    9x1=2(b1)(b+1)(b2+1)(b4+1) 9^x-1 = 2(b-1)(b+1)(b^2+1)(b^4+1)
    Qui est clairement divisible par 262^6. Par ailleurs, LTE implique que:
    v2(9x1)=3+v2(x)v_2(9^x-1)=3+v_2(x), et par consequent v2(x)3v_2(x)\geq 3, ce qui est une contradiction.

    cas 2 z=sz=s et 8ax8a \leq x. Dans ce cas on pose c=x8ac=x-8a et l'equation devient:
    2c32x=b812^c3^{2x}=b^8-1. On propose que cette equation n'admet pas de solution: Quite a remplacer bb par b-b, on peut supposer que: b1  [4]b\equiv 1\ \ [4]. Dans ce cas, on peut ecrire:
    b41=2c13hb^4-1=2^{c-1}3^h et b4+1=2×3kb^4+1=2\times3^k, ou kk et ll sont des entiers tels que k+l=2xk+l=2x. Or, 2×3k2c13h=22\times3^k-2^{c-1}3^h=2, ainsi k=0k=0 ou h=0h=0. Il est claire cependant qu'il n'y ait pas de solutions dans le cas ou k=0k=0. Le cas h=0h=0 par contre, nous mene a resoudre l'equation:
    9x=1+2c29^x=1+2^{c-2}
    Puisque 811[5]81 \equiv 1 [5], xx ne peut etre paire. Une application du LTE nous informe alors que: c2=3+v2(x)=3c-2=3+v_2(x)=3, d'ou c=5c=5, x=1x=1, or c=x8ac=x-8a ce qui est une contradiction.

    cas 3 zsz \neq s, dans ce cas, on pose c=zsc=z-s et on voit directement que 8a=x=s8a=x=s. L'equation a resoudre maintenant est:
    2c=b89x=(b2)4(81a)42^c=b^8-9^x=(b^2)^4-(81^a)^4
    Une application du LTE montre alors que: c=v2(b281a)+4c=v_2(b^2-81^a)+4, d'ou b281a=2c1b^2-81^a=2^{c-1}. Ceci implique alors que: (b2+81a)(b4+812a)=4(b^2+81^a)(b^4+81^{2a})=4, d'ou b=1b=1 et a=0a=0, ce qui implique que: x=0x=0, y=2ty=2^t et z=28tz=2^{8t}. En conclusion, l'equation n'admet pas de solutions dans N\mathbb{N}^*


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