Marathon des Inégalités



  • Problem 1:
    If a,b,c>0a,b,c \gt 0, then
    cyca3a2+ab+b2a+b+c3\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{a+b+c}{3}


  • Math&Maroc

    cyca3a2+ab+b2=cyca4a3+a2b+ab2(a2+b2+c2)2cyc(a3+a2b+ab2)=a2+b2+c2a+b+ca+b+c3\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{cyc}(a^3+a^2b+ab^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geq\frac{a+b+c}{3}
    ​​


    ​​



  • @Mohammed-Jamal Vérifie la derniere equivalence je crois que elle est fausse
    C est plutot ab+ac+bca2+b2+c2ab+ac+bc \geq a^2+b^2+c^2


  • Math&Maroc

    @Mamoun oui t'as raison je ne sais pas quel est le probleme ici



  • @Mohammed-Jamal Holder ne donne pas le meilleur encadrement


  • Math&Maroc

    @Mamoun maintenant je pense que c'est juste



  • @Mohammed-Jamal Oui Bravo! A ton tour de proposer.


  • Math&Maroc

    Probleme 2:
    Let a,b,c0a,b,c\geq0;abc=1abc=1. Prove that:
    9+16a2+9+16b2+9+16c23+4(a+b+c)\sqrt{9+16a^2}+\sqrt{9+16b^2}+\sqrt{9+16c^2} \ge 3+4(a+b+c)



  • AM.GM : 9+16a2+9+16b2281+(12a)2+(12b)2+(16ab)2\sqrt{9+16a^2}+\sqrt{9+16b^2}\geq 2\sqrt{\sqrt{81+(12a)^2+(12b)^2+(16ab)^2}}
    cauchy-schwartz :
    RHS29+12a+12b+16ab2=2×(3+4a)(3+4a)RHS\geq 2\sqrt{\frac{9+12a+12b+16ab}{2}}=\sqrt{2}\times (3+4a)\geq (3+4a)
    Finalement :
    LHS(9+4(a+b+c))3+4(a+b+c)LHS\geq (9+4(a+b+c))\geq 3+4(a+b+c)


  • Math&Maroc

    @Amine-medrare j'ai ps compris la premiere ligne est ce que tu as developpe??




  • Math&Maroc

    @Amine-medrare verifie la deuxieme ligne peut etre il y'a une erreure



  • @Amine-medrare Je n ai pas tres bien compris ta solution . Ou as tu utilisé la condition abc=1abc=1? Tu es sur que le cas d egalite a été conservé dans toutes les majorations que tu as fait?



  • @Mamoun ui peut être j'ai commis une erreur :
    cyc9+16a2\sum_{cyc} \sqrt{9+16a^2} doit être sup ou egal à 9+4(a+b+c)2\frac{9+4(a+b+c)}{2}


  • Math&Maroc

    @Amine-medrare essaie de reformuler ta solution



  • @Mohammed-Jamal Je propose une solution à ton problème en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange:
    Soit L(a,b,c)=f(a,b,c)λg(a,b,c)L(a,b,c) = f(a,b,c)-\lambda g(a,b,c)f(a,b,c)=9+16a2+9+16b2+9+16c234(a+b+c)f(a,b,c)=\sqrt{9+16a^2}+\sqrt{9+16b^2}+\sqrt{9+16c^2}-3-4(a+b+c) et g(a,b,c)=abc1g(a,b,c)=abc-1.
    On a par exemple La(a,b,c)=16a9+16a24λbc\frac{\partial L}{\partial a}(a,b,c) = \frac{16a}{\sqrt{9+16a^2}}-4-\lambda bc, et symétriquement on a les autres dérivées.
    La fonction ff atteint son minimum ou son maximum en (a,b,c)(a',b',c') tel que La(a,b,c)=Lb(a,b,c)=Lc(a,b,c)=0\frac{\partial L}{\partial a}(a',b',c') = \frac{\partial L}{\partial b}(a',b',c') = \frac{\partial L}{\partial c}(a',b',c') =0 et abc=1a'b'c'=1.
    La première équation donne: 16a9+16(a)24λbc=0\frac{16a'}{\sqrt{9+16(a')^2}}-4-\lambda b'c'=0 ou encore λ=1bc(16a9+16(a)24)=4a(4a9+16(a)21)\lambda = \frac{1}{b'c'}(\frac{16a'}{\sqrt{9+16(a')^2}}-4) = 4a'(\frac{4a'}{\sqrt{9+16(a')^2}}-1).
    En combinant avec les autres équations, on aura: a(4a9+16(a)21)=b(4b9+16(b)21)=c(4c9+16(c)21)a'(\frac{4a'}{\sqrt{9+16(a')^2}}-1) = b'(\frac{4b'}{\sqrt{9+16(b')^2}}-1) =c'(\frac{4c'}{\sqrt{9+16(c')^2}}-1).
    La fonction g(x)=4x9+16x21g(x) = \frac{4x}{\sqrt{9+16x^2}}-1 n'est pas strictement monotone car sa dérivée s'annule, en changeant de signe, en un point qu'on note xx' (On peut s'en rendre compte sur https://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+(x(4x%2Fsqrt{16x^2%2B9}-1), sinon c'est difficile à voir sur papier).
    Par symétrie du problème, on doit traiter 2 cas:

    • ) Premier cas: a,b,cxa', b', c' \le x' ou a,b,cxa', b', c' \ge x'.
      La fonction gg est strictement monotone sur [0,x][0,x'] et sur [x,+[[x', +\infty[, ce qui assure que a=b=ca'=b'=c' et vu que abc=1a'b'c'=1 et a,b,c0a', b', c'\ge 0, il s'ensuit que a=b=c=1a'=b'=c'=1 et que f(a,b,c)=0f(a',b',c') = 0.
    • ) Second cas a,bxca', b' \le x' \le c' ou a,bxca', b'\ge x' \ge c'.
      On a d'une part a=ba'=b', et vu que abc=1a'b'c'=1 il vient que (a)2c=1(a')^2c'=1.
      On a de plus f(a,a,1(a)2)=216a2+9+16a4+938a4a2f(a',a',\frac{1}{(a')^2})=2\sqrt{16a^2+9}+\sqrt{\frac{16}{a^4}+9}-3-8a-\frac{4}{a^2}.
      Dans ce cas, on va montrer que f(a,a,1(a)2)0216a2+9+16a4+93+8a+4a2f(a',a',\frac{1}{(a')^2})\ge0\Leftrightarrow 2\sqrt{16a^2+9}+\sqrt{\frac{16}{a^4}+9}\ge 3+8a+\frac{4}{a^2}. ( * )
      En élevant au carré et en simplifiant par 44, cela équivaut à (16(a)2+9)(16(a)4+9)6(2a+1(a)2)+16a9\sqrt{(16(a')^2+9)(\frac{16}{(a')^4}+9)}\ge6(2a'+\frac{1}{(a')^2})+\frac{16}{a'}-9.
      Or, 6(a+a+1(a)2)+16a96×3(a.a.1(a)2)13+16a9=9+16a06(a'+a'+\frac{1}{(a')^2})+\frac{16}{a'}-9\ge6\times 3(a'.a'.\frac{1}{(a')^2})^{\frac{1}{3}}+\frac{16}{a'}-9 = 9+\frac{16}{a'}\ge 0.
      En élevant au carré encore une fois, en divisant par 1212 et en réordonnant, l'inégalité équivaut à 18a32+12a+9(a)216(a)3+9(a)4018a'-32+\frac{12}{a'}+\frac{9}{(a')^2}-\frac{16}{(a')^3}+\frac{9}{(a')^4}\ge0 ou encore à 18(a)532(a)4+12(a)3+9(a)216a9018(a')^5-32(a')^4+12(a')^3+9(a')^2-16a'-9\ge0.
      En factorisant, on tombe sur (a1)2(18(a)3+4(a)2+2a+9)0(a'-1)^2(18(a')^3+4(a')^2+2a'+9)\ge0, ce qui est évidemment vrai.
      (Il est à noter qu'il n'y a pas d'égalité dans ce cas et les inégalités sont toutes strictes, car sinon x=1x'=1 ce qui est faux).
      On conclût, d'après le raisonnement par équivalences successives que l'inégalité ( * ) est vérifiée.
    • ) Conclusion: le gradient de LL s'annule en (1,1,1)(1,1,1), donc LL admet un minimum ou un maximum en ce point. Comme LL prend des valeurs positives (d'après le second cas ci-haut), on déduit que L(a,b,c)L(1,1,1)L(a,b,c)\ge L(1,1,1) quelque soient a,b,c0a,b,c\ge0 tel que abc=1abc=1.
      L'inégalité qu'on veut montrer au départ s'ensuit...

  • Math&Maroc

    probleme; soient $a,b>0$ tq a1996+b1996=a1994+b1994a^{1996}+b^{1996}=a^{1994}+b^{1994}.
    Montrer que:
    a2+b22a^2+b^2{\leq}2


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