[Proposed] USA 1997


  • Math&Maroc

    Pour a,b,c>0a,b,c \gt 0 montrez que
    1a3+b3+abc+1b3+c3+abc+1a3+c3+abc1abc\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc} \leq \frac{1}{abc}

    USA 1997



  • We have (by chebyshev) a3+b3ab(a+b)a3+b3+abcab(a+b+c)a^3+b^3\ge ab(a+b)\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab(a+b+c)
    hence
    cyc1a3+b3+abccycaabc(a+b+c)=1abc\sum_{cyc}\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le \sum_{cyc}\frac{a}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}
    and we are done!


  • Math&Maroc

    @Anas-Adlany Très jolie solution!
    Pour l'inégalité utilisée j'aurai plutôt dit Réordonnement.



  • Par symétrie des rôles, on supp que :
    abca\geq b\geq c , donc abc2ab\geq c^2
    ab×a2b2a2b2c2ab\times a^2b^2 \geq a^2b^2c^2
    a3b3a2b2c2a^3b^3 \geq a^2b^2c^2
    (ab)3abc\sqrt{(ab)^3} \geq abc
    2(ab)32abc2\sqrt{(ab)^3} \geq 2abc
    Or , d après AM.GM:
    a3+b32(ab)3a^3+b^3 \geq 2\sqrt{(ab)^3}
    Donc a3+b32abca^3+b^3 \geq 2abc
    a3+b3+abc3abca^3+b^3+abc \geq 3abc
    1a3+b3+abc13abc\frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{3abc}
    cyc1a3+b3+abc1abc\sum_{cyc} \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{abc}


  • Math&Maroc

    @Amine-medrare

    @Amine-medrare said in [Proposed] USA 1997:

    1a3+b3+abc13abc\frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{3abc}
    cyc1a3+b3+abc1abc\sum_{cyc} \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{abc}

    Étant donnée que tu as supposé que abca \geq b \geq c , a,ba,b et cc ne jouent plus des rôles symétriques donc la dernière équivalence n'est pas à priori vraie. Néanmoins, l'idée derrière est bonne, en ajustant un peu ça peut marcher.


Log in to reply
 

Looks like your connection to Expii Forum was lost, please wait while we try to reconnect.