Marathon d'arithmétique



  • @Elias.Kaichouh
    Oui , tu as raison ! Merci !
    travaillons d'abordd sur le probleme 13


  • Math&Maroc

    solution;
    on a b51=(b1)(b4+b3+b2+b+1)=2m.a2b^5-1=(b-1)(b^4+b^3+b^2+b+1)=2^m.a^2
    or b4+b3+b2+b+1b^4+b^3+b^2+b+1 est impair donc b=1+2mb=1+2^m
    et a21=b4+b3+b2+ba^2-1=b^4+b^3+b^2+b
    si a5a\geq 5 alors 24a2124|a^2-1 donc a=2a=2 ou a=3a=3 alors (11,3,1)(11,3,1) est solution
    si a3a\leq 3 pas de solution



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  • Math&Maroc

    probleme 14:
    soit p(x)=x4x33x2x+1p(x)=x^4-x^3-3x^2-x+1,montrer qu'il existe une infinite d'entier nn tq p(3n)p(3^n) n'est pas premier



  • @Mohammed-Jamal said in Marathon d'arithmétique:

    probleme 14:
    soit p(x)=x4x33x2x+1p(x)=x^4-x^3-3x^2-x+1,montrer qu'il existe une infinite d'entier nn tq p(3n)p(3^n) n'est pas premier

    il suffit de prendre n=4k+1n=4k+1ou n=4k+3n=4k+3 et d'observer p(x)p(x) modulo 55,on trouve qu'il est toujours divisible par 55 pour n=4k+1n=4k+1ou n=4k+3n=4k+3, et comme p(x)p(x) ne peut pas etre egal à 55 ou 5-5 infiniment de fois,le resultat en découle



  • Continuons avec cette vague de polynomes...
    Problème 15 15:
    Soit p(x)=x3+17p(x)=x^3+17,montrer que pour tout entier naturel nn il existe un xx tel que 3n3^n divise p(x) et 3n+13^{n+1} ne divise pas p(x)


  • Math&Maroc

    @Elias.Kaichouh
    procedons par recurrence sur nn
    pour n=1n=1 c'est evident
    supposons qu c'est vrai pour nn
    pour n+1n+1, on va determiner bb tq 3n+1p(x+b)3^{n+1}||p(x+b)
    on a (x+b)3+17=x3+17+3xb2+3x2b+b3=x3+17+b2(b+3x)+3x2b(x+b)^3+17=x^3+17+3xb^2+3x^2b+b^3=x^3+17+b^2(b+3x)+3x^2b
    supposons que 3nb3^n|b donc x3+17+b2(b+3x)+3x2b=k.3n+3b[3n+2]x^3+17+b^2(b+3x)+3x^2b=k.3^n+3b [3^{n+2}] (k2k\le 2)
    il suffit de prende b=3nk3n1b=3^n-k3^{n-1}
    d'ou la conclusion



  • Résoudre dans (N)2\left({\mathbb N}^{*}\right)^2 l'équation : xy=yxx^y=y^x.



  • @محمد-محمد

    -Par la symetrie de role de x,yx,y , alors on suppose spdg xx > yy > 22

    On a xy=yxln(x)x=ln(y)y\displaystyle x^y=y^x \Leftrightarrow \frac{\ln(x)}{x}=\frac{\ln(y)}{y}

    la fonction xln(x)x\displaystyle x \mapsto \frac{\ln(x)}{x} est st.décroissante sur [e,+[[e,+ \infty[

    (car f(x)=1ln(x)x20\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}\le 0 quelque soit x[e,+[x \in [e , +\infty [ )

    puisque xx > yy \Leftrightarrow ln(x)x\displaystyle \frac{\ln(x)}{x} > ln(y)y\displaystyle \frac{\ln(y)}{y} , contradiction donc x,y2x,y \le 2

    • Pour y=2y=2 alors 2x22 \mid x^2 en prenant x=2kx=2k alors 4k2=4kk2=4k14k^2=4^{k} \Leftrightarrow k^2 =4^{k-1} par une récurrence rapide , seule valeur de k=2k=2
    • Pour y=1y=1 donc x=y=1x=y=1
    • sans oubliant le cas où x=yx=y pour tout xNx \in \mathbb{N^*}
      Ainsi ,
      (x,y)=(x,x),(4,2),(2,4)\mathbb{(x,y)=(x,x),(4,2),(2,4)}


  • Problème 17 :

    Montrer qu'il existe une infinité de kN k \in \mathbf{N} ,qui vérifient les deux conditions suivants :

    • b248a2=1b^2-48a^2=1
    • b=4k+3:kNb=4k+3 : k \in \mathbb{N}

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