EXO N - EF 1 [Proposed]


  • Math&Maroc

    Trouver toutes les fonctions injective f:NNf : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} vérifiant :
    f(f(n))n+f(n)2f(f(n))\leq \frac{n+f(n)}{2}



  • @Amine-Natik
    on suppose qu il existe mNm \in \mathbb{N} tq f(m)>m f(m) \gt m on a donc
    f(m)>f2(m)f(m) \gt f^{2}(m) et on montre facilement par recurrence que pour tout nNn \in \mathbb{N} f(m)>fn(m)f(m) \gt f^{n}(m) (a)
    donc (fn(m))n(f^{n}(m))_{n} est une suite d entiers naturels bornee donc elle est stationnaire
    donc ils existent deux entiers naturels p>qp \gt q tels que fp(m)=fq(m)f^{{p}}(m)=f^{q}(m) et puisque f est injective alors fpq(m)=mf^{p-q}(m)= m donc fpq+1(m)=f(m)f^{p-q+1}(m)=f(m) ce qui contredit (a)
    on a donc f(n)n f(n)\leq n pour tout nNn \in \mathbb{N} et donc f(0)=0f(0)=0 et f(1)=1f(1)= 1 (car f est injective )
    on montre facilement par recurrence que pour tout nNn \in \mathbb{N} f(n)=nf(n)=n


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