Marathon de Combinatoire



  • @Abdellah-Elmrini said in Marathon de Combinatoire:

    Soit rr le reste de nn modulo p+1p+1, clairement rr est choisissable , le joueur 1 le choisit en premier et s'assure de garder le nombre restant toujours congru à rr mod p+1p+1. Il a donc toujours la strategie gagnante

    Si p+1rp+1|r on aura rr n est pas choisissable et c est le joueur 2 qui gagne dans ce cas . C est le cas deuxieme question de l exercice.
    On a donc également généralise le probleme^^^



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  • Considérons les triplets (1,4,9)(2,7,14)(5,15,12)(3,6,8)(1,4,9)(2,7,14)(5,15,12)(3,6,8)
    Le principe des tirois nous dit que Card(M)11Card(M)\leq 11
    Essayons de construire un ensemble à 11 elements.
    Si l un des nombres (10,11,13)(10,11,13) n appartiennent pas à MM alors Card(M)10Card(M)\leq 10 et on a fini.
    Donc (10,11,13)(10,11,13) appartiennent à MM
    On doit puiser deux élements exactement dans chacun des triplets que l on a selectionné.
    (5,2)(5,2) ne peuvent pas appartenir simultanément à l ensemble (5.2.10=1025.2.10=10^2)
    (5,8)(5,8) aussi (5.8.10=2025.8.10=20^2)
    (5,3,15)(5,3,15) aussi (5.3.15=1525.3.15=15^2)
    Si 55 appartient à MM alors (6,3)( 6,3) aussi. On aura donc 1212 appartient à M. Donc 1515 n appartient pas à MM
    Alors 44 n appartient pas à MM
    Donc notre MM sera 1,3,5,6,7,9,10,11,12,13,141,3,5,6,7,9,10,11,12,13,14 Hors 12.3.1=36=6212.3.1=36=6^2
    Absurde!
    Donc 5 5 n appartient pas à MM
    Donc 33 n appartient pas à MM Donc (6,8)(6,8) appartiennent à MM
    Donc 22 n appartient pas à MM
    Donc notre MM sera 7,14,15,12,6,8,10,11,137,14,15,12,6,8,10,11,13 + deux elements de (1,4,9)(1,4,9) Hors 15.6.10=900=30215.6.10=900=30^2 Absurde!
    Donc card(M)10card(M)\leq 10
    M=1,3,4,5,6,7,10,11,13,14 M={1,3,4,5,6,7,10,11,13,14} est un exemple de solution à 10 élements



  • Probleme 9
    0_1481758043735_S1.png



  • Montrer que nn est pair
    Montrer que n2=8k+1n^2=8k+1 en utilisant une coloration adequate pour en deduire que n=4k+2n=4k'+2
    Puis donner une configuration adéquate



  • Allez hop il temps que cette discussion revienne à la vie! Je commence en proposant une sol au probleme de Mamoun(ça date quand meme !)
    Probleme 9
    on a chaque Tetromino couvre exactement 44 cases,donc il est clair que nn est pair,on a donc 2 cas, n=4k+2n=4k+2 et n=4kn=4k
    Cas 1: n=4k+2n=4k+2
    Simple!il suffit de n'utiliser que des Square-Tetrominos
    Cas 2 n=4kn=4k
    Supposons qu'il existe un n=4kn=4k pour lequel ...(blablabla,l'enoncé du problème),soit ss le nb de Square-tetrominos qu'on a utilisé pour faire un tel recouvrement,et tt le nb de T-tetrominos,ss est impair et 4s+4t=16k4s+4t=16k donc tt est egalement impair,colorions l'echiquier par un coloriage Black-White standard,notons BB le nb de cases noires et WW le nb de cases blanches, clairement B=W=8kB=W=8k,là il suffit de remarquer que chaque Square-tetromino couvre le meme nombre de cases blanches que de cases noires,et chaque T tromino couvre 33 cases noire et 11 blanche ou vice versa,en notant xx le nb de T-tetrominos couvrant 3 cases blanches et yy le nb de T-tetrominos couvrans 3 cases noires ,on a 3x+y+2s=3y+x+2s=8k3x+y+2s=3y+x+2s=8k et t=x+yt=x+y,absurde car on trouve t=2x=2yt=2x=2y pair



  • Probleme 10
    Un tableau consiste de nn lignes et 1010 colonnes, chaque case contient un chiffre(de 00 à 99),suppsons que pour toute lignes AA et colonnes BB et CCil existe une ligne qui differe de AA exactement dans les colonnes BB et CC,mq nn>511511



  • Bonjour @Elias-Kaichouh ! J'ai voulu mettre un coup d'œil ici même que je sais que c'est élevé pour mon niveau mais bon 😅
    Pour ton dernier exercice je propose ce qui suit:
    Nous avons n lignes et 10 colonnes et chaque case contient un nombre de 0 à 9.
    Pour chaque ligne il existe une seule autre ligne différente d'elle dans les colonnes B et C.
    Il existera exactement 10210^2 modèles de lignes différentes dans les colonnes B et C.
    Donc il y aura au maximum 200 lignes respectant les deux conditions.
    Je me demande ce que j'ai raté dans mon raisonnement.



  • @hamza-ba-mohammed said in Marathon de Combinatoire:

    Bonjour @Elias-Kaichouh ! J'ai voulu mettre un coup d'œil ici même que je sais que c'est élevé pour mon niveau mais bon 😅
    Pour ton dernier exercice je propose ce qui suit:
    Nous avons n lignes et 10 colonnes et chaque case contient un nombre de 0 à 9.
    Pour chaque ligne il existe une seule autre ligne différente d'elle dans les colonnes B et C.
    Il existera exactement 10210^2 modèles de lignes différentes dans les colonnes B et C.
    Donc il y aura au maximum 200 lignes respectant les deux conditions.
    Je me demande ce que j'ai raté dans mon raisonnement.

    d'abord il n'existe pas exactement une ligne differente de A dans B et C,mais au moins une telle ligne,d'autre part je ne vois pas pourquoi il y aura 10210^2 lignes differentes de A dans B et C dans ce tableau,car on nous a donné l'existence d'au moins une ligne,et non pas de toute les lignes,et puis tu as oublié le fait que c'est valable pour tout B et C et non pas pour 2 colonnes seulement



  • @abdellah-elmrini svp j ai pas compris pourquoi celui avec 46 est dans la meme equipe que celui avec 0


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