EXO N - A 1 [Proposed]


  • Math&Maroc

    Trouver tous les polynômes P(X)P(X) tels que : P(X2+1)=P(X)2+1P(X^2+1)=P(X)^2+1 et P(0)=0P(0)=0.



  • De P(0)=0 P(0)=0 On déduit que la constante du polynome =0
    On a P(1)=1 P(1)=1
    Soit P(x)=xQ(x) P(x)=x*Q(x) pour tout x différent de 0 . On a (x2+1)Q(x2+1)=x2Q(x)2+1 (x^2+1)Q(x^2+1)=x^2Q(x)^2+1 avec Q(1)=1 Q(1)=1 Et Et remarquonsremarquons queque sisi Q(a)=1Q(a)=1 Alors Q(a2+1)=1 Q(a^2 +1) =1 On initialise avec Q(1)=1Q(1)=1 Donc on obtient une infinité de réels tel que Q(x)=1Q(x)=1 Donc le polynome S(x)=Q(x)1 S(x)=Q(x)-1 admet une infinité de racines. Donc S(x)=0S(x)=0 Donc Q(x)=1Q(x)=1 .
    Finalement on en déduit que P(x)=x P(x)=x On vérifie ensuite que le polynome remplit bien les conditions de l exercice.


  • Math&Maroc

    Pourquoi i=1nci2i=2i=1ncin=1\sum_{i=1}^{n}c_i2^i=2\sum_{i=1}^{n}c_i \Rightarrow n=1 ??!!



  • J ai modifié ma solution



  • P(0)=0
    P(1)=1
    P(2)=2
    P(5)=5
    P(26)=26 ......
    On considère le polynôme p(x)-x
    Et la suite a0=0
    a(n+1)=a(n)^2+1
    Par récurrence le polynôme P(x)-x admet une infinité de racine
    Et réciproquement ca vérifie donc
    P(x)=x


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