EXO N - C 3[Proposed]


  • Math&Maroc

    Mamoun veut choisir des entiers distincts entre 22 et 111111 de tels sorte que, chaque nombre choisi ne peut pas s'écrire comme produit de deux autres distincts nombres choisis. Quel est le maximum nombre d'entiers que Mamoun peut choisir ?



  • Enlevons les nombres (2,3,4,......,10)(2,3,4,......,10) de l ensemble.
    La produit des nombres restants est 132\geq 132 Donc on a un ensemble 101 élements satisfaisant les conditions.
    Considérons maintenant un ensemble de 102 élements de l ensemble (2,3,.......,111)(2,3,.......,111) et les triplets (10,11,110)(9,12,108).......(2,19,38) (10,11,110) (9,12,108).......(2,19,38) Ces triplets sont composés de 27 nombres distincts. Supposons que dans le choix des 102 nombres l on choisisse tout d abord les 11027110-27 =83autres=83 autres il nous reste donc 1919 nombres à choisir répartis dans 99 triplets. Donc on aura au moins 33 nombres dans le meme triplets.
    On en déduit que 101101 est bien la valeur maximale


  • Math&Maroc

    Bravo Mamoun :D :clap_tone2:



  • Merci . Je propose une petite généralisation .
    Remplacons 111 111 par nn et n[n]2+[n])n\geq [\sqrt{n}]^2+[\sqrt{n}])
    Enlevons tous les nombres plus petit que [n][\sqrt{n}] Donc le produit de tous les nombres restants est >n n . Donc on a un ensemble de n[n] n-[\sqrt{n}] nombres satisfaisant les conditions.
    Considérons maintenant un ensemble de n[n]+1 n-[\sqrt{n}]+ 1 et les [n]1[\sqrt{n}]-1 triplets ([n],[n]+1,[n]2+[n])([\sqrt{n}],[\sqrt{n}]+1,[\sqrt{n}]^2+[\sqrt{n}]) ([n]1,[n]+2,[n]2+[n]2) ([\sqrt{n}]-1,[\sqrt{n}]+2,[\sqrt{n}]^2+[\sqrt{n}]-2) ............................... (2,2[n]1,4[n]2) (2,2[\sqrt{n}] -1,4 [\sqrt{n}]-2)
    Si on choisit n[n]+1 n-[\sqrt{n}]+ 1 nombres il y en aura forcément 3 dans le meme triplet. Absurde!Absurde!
    On en déduit que la valeur maximale est n[n] n-[\sqrt{n}]
    On remplace n par 111 ce qui nous donne un maximum de 11110=101111-10=101 nombres


Log in to reply
 

Looks like your connection to Expii Forum was lost, please wait while we try to reconnect.