[proposed]equation fonctionnelle



  • Find all functions ZZ{\mathbb Z}\longrightarrow {\mathbb Z} such that for all m,nm,n in Z{\mathbb Z} :
    f(n)f(n)=f(n2)f(n)f(-n) = f(n^2) and f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn. f(m+n) = f(m) + f(n) + 2mn.


  • Math&Maroc

    Mohammed Jamal: Pourais-tu preciser au niveau du titre, si tu as besoin d'aide pour resoudre ce probleme [unsolved] ou que tu n'aime que proposer l'exercice aux autres membres [proposed].

    Pour plus d'information: http://forum.expii.com/topic/70/quelques-regles



  • @Mohamed-El-Alami said in equation fonctionnelle:

    Mohammed Jamal: Pourais-tu preciser au niveau du titre, si tu as besoin d'aide pour resoudre ce probleme [unsolved] ou que tu n'aime que proposer l'exercice aux autres membres [proposed].

    Pour plus d'information: http://forum.expii.com/topic/70/quelques-regles

    ah merci j'ai oublié de préciser merci



  • On a f(0)2=f(0)f(0)^2=f(0) donc f(0)=0f(0)=0 ou f(0)=1f(0)=1
    Le deuxieme cas nous donne f(m)=f(m)+1f(m)=f(m)+1 Absurde!Absurde!
    Donc f(0)=0f(0)=0
    On a aussi f(1)f(1)=f(1)f(1)f(-1)=f(1) Donc f(1)=0f(1)=0 ou f(1)=1f(1)=1
    CasCas 11 f(1)=0f(1)=0
    Prouvons par recurrence de f(n)=n(n1)f(n)=n(n-1) pour tout nn de NN
    f(n+1)=n(n1)+2n=n(n+1)f(n+1)=n(n-1)+2n=n(n+1) Fin de la récurrence
    Donc pour tout nn de NN on a f(n)n(n1)=n2(n+1)(n1)f(-n)n(n-1)=n^2(n+1)(n-1)
    Donc f(n)=n(n+1)f(-n) = n(n+1) donc f(n)=n(n1)f(n)=n(n-1) pour tout nn dans ZZ-
    En conclusion f(n)=n(n1)f(n)=n(n-1) est notre premiere solution
    CasCas 22 f(1)=1f(1)=1
    On démontre par récurrence que f(n)=n2f(n)=n^2
    f(n+1)=n2+2n+1=(n+1)2f(n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2 Fin de lé récurrence
    Donc f(n)=n2=(n)2f(-n)=n^2= (-n)^2 donc f(n)=n2f(n)=n^2 pour tout nn dans ZZ
    Sauf erreur



  • ma solution
    on pose f(x)=x2+g(x)f(x)=x^2+g(x) donc on obtient g(n+m)=g(n)+g(m)g(n+m)=g(n)+g(m)
    (equation de caushy)
    donc g(x)=cxg(x)=cx on sibstitue dans l'equation initiale on trouve c=0c=0 ou c=1c=-1
    d'ou f(x)=x2f(x)=x^2 ou f(x)=x(x1)f(x)=x(x-1) pour tout x de ZZ (svp verifiez si c'est juste)



  • This post is deleted!


  • @Mamoun said in [proposed]equation fonctionnelle:

    @Mohammed-Jamal Non f n'est pas continue ( On peut appliquer les equations de Cauchy uniquement sous quelques conditions , Mohammed Alami avait posté un cours dessus dans notre ancien groupe que j essaierais de te retrouver )

    mmm je ne savais pas ca est ce que ma solution est fausse ?



  • This post is deleted!


  • @Mamoun said in [proposed]equation fonctionnelle:

    @Mohammed-Jamal Malheureusement , oui . Remarque également que si ta solution etait juste tu aurais alors demontrer que les fonctions que tu as trouvé sont les uniques fonctions qui vérifient ces relations et qui sont definies de RRR\rightarrow R ce qui est un cas encore plus vaste que celui demandé par l exercice

    moi je pensais que sur Z la solution de l'equaton de caushy est f(x)=cx


  • Math&Maroc

    @Mohammed-Jamal

    Effectivement, les seuls solutions de l'equation de Cauchy sur Z (meme sur Q) sont de la forme cx. Les anomalies commence a apparaitre lorsqu'on cherche des solutions sur R.



  • @Mohammed-Jamal
    Si ff RRR\rightarrow R est une fonction additive i.e f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout (x,y)R2(x,y)\in R^2
    On a équivalence entre :

    • ff est de la forme f(x)=axf(x)=ax pour un certain aRa\in R
    • ff est bornée supérieurement ( ou inférieurement) sur un intervalle.
    • ff est croissante ( ou décroissante ) sur un intervalle
    • ff est continue en un point


  • @Mohamed-El-Alami Mea culpa alors c est moi qui ai confondu. Je m en excuse je suis bete en plus la demonstration passe par 4 étapes NN ZZ QQ RR et les trois premieres ne necessitent pas la continuité



  • j'ai une question qu'est ce qua ca veut dire fonction additive multiplicative??



  • @Mohamed-El-Alami ah d'accord sur Q aussi merci Mohammed



  • @Mamoun et quel est le probleme sur R pour l'equation de caushy tu as dit que f(x)=ax pour un certain reel


  • Math&Maroc

    @ Mamoun : effectivement!

    @ Mohammed Jamal: Une fonction additive est une fonction qui satisfait l'equation de Cauchy, une fonction multiplicative satisfait f(xy)=f(x)f(y) pour tout x et y.
    Il faut etre vigilant lorsqu'on parle de fonctions multiplicatives de Z dans Z, generalement dans ce contexte, une fonction multiplicative verifiera f(xy)=f(x)f(y) seulement pour x et y premier entre eux.

    Je n'ai pas bien compris ta derniere question "quel est le probleme sur R...."



  • @Mohamed-El-Alami je veux savoir pourquoi on peut pas la resoudre sur RR


  • Math&Maroc

    @Mohammed-Jamal On peut bien resoudre le probleme sur R, sauf que maintenant il y a beaucoup plus de solutions autre que: f(x)=cx. Mais aucune autre solution n'est continue.



  • @Mohammed-Jamal Dans la démonstration des équations de Cauchy on traite 4 étapes.
    Premierement NN par récurrence puis ZZ puis QQ par manipluations.
    Mais pour passer de QQ à ZZ on utilise l argument de continuité de ff et la densité que QQ dans RR en d autres termes a tout réel est la limite d une suite de nombres rationnels puis on utilise la continuité pour etendre le résultat à RR


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