EXO N - NT 1 [Proposed]


  • Math&Maroc

    Trouver tous les entiers a,b,c,d0 a,b,c,d \geq 0 tels que : 2a5+21b5=c52a^5+21b^5=c^5 et 3a5+4b5=d53a^5+4b^5=d^5.



  • @Amine-Natik
    on a pour tout xNx \in \mathbb{N} x50,1,1(mod11)x^{5}\equiv 0, 1 , -1(mod 11 )
    on suppose que (a,b,c,d)(0,0,0,0)(a,b,c,d)\neq (0,0,0,0)
    par symétrie on prend pgcd(a,b,c)=pgcd(a,b,d)=1 pgcd(a,b,c)=pgcd(a,b,d)=1 donc on ne peut pas avoir ab0(mod11)a\equiv b\equiv 0(mod11)
    1° si a51(mod11)a^{5} \equiv -1(mod11):
    b51(mod11)d57(mod11)b^{5} \equiv -1(mod11) \Rightarrow d^{5} \equiv -7(mod11)
    b50(mod11)d52(mod11)b^{5} \equiv 0(mod11) \Rightarrow d^{5} \equiv -2(mod11)
    b51(mod11)c58(mod11)b^{5} \equiv 1(mod11) \Rightarrow c^{5} \equiv 8(mod11)
    2° si a5=0(mod11)a^{5}= \equiv 0(mod 11):
    b51(mod11)d54(mod11)b^{5} \equiv -1(mod11) \Rightarrow d^{5} \equiv -4(mod11)
    b51(mod11)d54(mod11)b^{5} \equiv 1(mod11) \Rightarrow d^{5} \equiv 4(mod11)
    3° si a51(mod11) a^{5} \equiv 1(mod11):
    b51(mod11)c58(mod11)b^{5} \equiv -1(mod11) \Rightarrow c^{5} \equiv -8(mod11)
    b50(mod11)c52(mod11)b^{5} \equiv 0(mod11) \Rightarrow c^{5} \equiv -2(mod11)
    b51(mod11)d57(mod11)b^{5} \equiv 1(mod11) \Rightarrow d^{5} \equiv7(mod11)
    dans tous les cas on a soit c50,1,1(mod11)c^{5}\neq 0, 1 , -1(mod11) soit d50,1,1(mod11)d^{5}\neq 0, 1 , -1(mod11)
    et donc la seule solution est (0,0,0,0)


  • Math&Maroc

    très bien Fahd! je vous propose une autre solution :
    Lemme: 11x5+3y511x 11 \mid x^5+3y^5 \Rightarrow 11\mid x et 11y 11 \mid y.
    Preuve: x53y5[11]x109y10[11]x^5 \equiv -3y^5 [11] \Rightarrow x^{10} \equiv 9y^{10} [11] , Si 1111 ne divise pas xx alors il ne divise pas yy donc : 19[11]1 \equiv 9 [11] (en utilisant théorème de Fermat) absurde, d'où 1111 divise xx et yy

    On a : c5+3d5=(2a5+21b5)+3(3a5+4b5)=11(a5+3b5)c^5+3d^5=(2a^5+21b^5)+3(3a^5+4b^5)=11(a^5+3b^5)
    c5+3d5=11(a5+3b5)\Rightarrow c^5+3d^5=11(a^5+3b^5). ( * )
    11c5+3d511c11\mid c^5+3d^5 \Rightarrow 11\mid c et 11d11\mid d on pose c=11cc=11c' et d=11dd=11d'.
    donc 114((c)5+3(d)5)=a5+3b511^4((c')^5+3(d')^5)=a^5+3b^5, de même aa et bb sont divisible par 1111, on pose a=11aa=11a' et b=11bb=11b' donc : (c)5+3(d)5=11((a)5+3(b)5) (c')^5+3(d')^5=11((a')^5+3(b')^5).
    Donc (a,b,c,d)(a,b,c,d) Solution de ( * ) (a11,b11,c11,d11)\Rightarrow (\frac{a}{11},\frac{b}{11},\frac{c}{11},\frac{d}{11}) Solution de ( * ).
    et d'après le principe de la descente infini, la seule solution est (a,b,c,d)=(0,0,0,0)(a,b,c,d)=(0,0,0,0).


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