[Proposed] Inégalité


  • Math&Maroc

    Soit a,b,c>0a,b,c \gt 0. Montrez que
    a3bc+b3ca+c3aba+b+c\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab} \geq a+b+c



  • Equivalent a a4+b4+c4a2bc+ab2c+abc2a^4 + b^4 +c^4\geq a^2bc +ab^2c +abc^2
    Hors on a a4+a4+b4+c44a2bc a^4+a^4+b^4+c^4 \geq 4a^2bc
    Donc 4(a4+b4+c4)4(a2bc+ab2c+abc2) 4(a^4 + b^4 +c^4)\geq 4( a^2bc +ab^2c +abc^2)
    CQFDCQFD


  • Math&Maroc

    Très bien!
    Pour précision, la deuxième inégalité est justifié par l'IAG: a1+a2++anna1a2ann\frac{a_1+a_2+ \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}



  • or just apply directly Muirhed



  • D'après AM.GM:
    cyca3bccycabca+b+c\sum_{cyc} \frac{a^3}{bc} \geq \sum_{cyc} \frac{ab}{c} \geq a+b+c


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