[Proposed] Séquence de congruences


  • Math&Maroc

    Soit p3p \geq 3 un nombre premier. Déterminer s'il existe une permutation (a1,a2,...,ap1)(a_1,a_2,..., a_{p-1}) de (1,2,...,p1)(1,2,...,p-1) telle que la suite (iai)( ia_i ) contient p2p-2 congruences distinctes modulo pp.



  • Malheureusement j'ai pu démontrer juste le résultat suivant :pour n'importe quelle permutation , il existe 2 éléments ayant le même reste modulo p . une question , avez vous pu expliciter une telle permutation ?


  • Math&Maroc

    Je propose donc la solution de l'exercice:
    Argument clé: Si pp est premier alors 1,2,...,p11,2,... ,p-1 sont inversible modulo pp, ca veut dire que i1,2,...p1\forall i \in 1,2,...p-1 !x1,...,p1\exists! x \in 1,...,p-1    ix1[p] \ \ \ ix\equiv 1 [p]

    Solution: Pour i1,...,p1i \in 1,...,p-1 soit bib_i tel que ibi1[p]ib_i\equiv1[p]. On pose ai=(i+1)bi[p]a_i=(i+1)b_i[p] (ca veut dire qu'on prend le reste de la division de (i+1)bi(i+1)b_i par pp).
    Donc i1,..,p2\forall i \in 1,..,p-2     iai=i+1[p] \ \ \ \ ia_i=i+1[p]
    Il reste à montrer que les aia_i sont différents. Supposons qu'il existe 1i<jp21 \leq i \lt j \leq p-2 tel que ai=aj=aa_i=a_j=a.
    On sait que iaii+1[p]ia_i\equiv i+1 [p] et jajj+1ja_j\equiv j+1
    Donc a(ij)(ij)[p]a(i-j) \equiv (i-j)[p] donc (a1)(ij)0[p](a-1)(i-j) \equiv 0[p], iji-j est inversible modulo pp donc a10[p]a-1 \equiv 0[p] ce qui veut dire que a1[p]a \equiv 1[p]. Étant donné que 1ap11 \le a \le p-1 alors a=1a=1. Contradiction car 1×ii+1[p] 1 \times i \neq i+1 [p] . Ce qui fini la démonstration.



  • si on suit votre construction des a_i , il s'avère que a_{p-1} = 0[p] ainsi (a_1,.......,a_{p-1}) n'est pas une permutation de {1,2,...p-1}



  • @Woody ai=i1+1a_i = i^{-1} + 1 si i1p1i^{-1} \neq p-1 ; sinon ai=1a_i = 1 , Montre que cette construction marche -- C'est facile sauf erreur lol.


  • Math&Maroc

    @Woody Tu as raison, mais ap1a_{p-1} n'est pas important, il suffit de prendre pour ap1a_{p-1} l’élément qui reste dans 1,...,p11,...,p-1


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