EXO MHI - C2 [Proposed]


  • Math&Maroc

    Ce n'est pas vraiment de la combinatoire mais je le pose tout de même ici!

    Vous disposez de 3 piles de jetons : une de 49, une de 51 et une de 5 jetons. Vous avez le droit de :

    • Regrouper deux piles en une seule
    • Séparer une pile en deux si elle a un nombre pair de jetons

    Est-il possible d'avoir, après un nombre fini de coups, 105 piles de 1 jeton ?



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  • La réponse est non.
    Clairement pour obtenir une pile de 1 jetons il faut avoir au prealable une file de 2k2^k jetons.
    Hors considérons les premiers mouvements possibles:
    CasCas 11
    On regroupe la pile de 49 et de 51 jetons pour obtenir une pile de 100 jetons et une pile de 5 jetons. Les deux piles ont un nombre de jetons multiples de 5.
    Hors les mouvements qu on effectuera ne changeront pas cette divisibilité par 5. ( Car soit l on divise le nombre de jetons par deux et ca n affecte pas les diviseurs premiers impairs , soit l on ajoute deux piles avec un nombre de jetons divisible par 5 donc ca n influe pas)
    Donc on ne pourra pas obtenir de piles avec 2k2^k jetons et par la suite 105 piles avec 1 jeton.
    CasCas 22
    On regroupe la pile de 49 et de 5 jetons pour obtenir une pile de 51 et une pile de 54 jetons. Et on applique le meme argument que dans le cas 11 avec la divisibilité par 3 au lieu de 5.
    CasCas 33
    On regroupe la pile de 51 et de 5 jetons pour obtenir une pile de 56 et une pile de 49 jetons. Et on applique le meme argument de divisibilité mais par 7 cette fois ci.
    En conclusion il n est pas possible d obtenir apres un nombre fini de coups 105 piles de 1 jeton.
    CQFDCQFD
    Sauf erreur



  • A votre avis peut on généraliser le probleme?
    Considérons 3 piles de jetons une de mm une de nn et une de qq jetons.
    Vous avez le droit de :
    Regrouper deux piles en une seule
    Séparer une pile en deux si elle a un nombre pair de jetons
    Sous quels conditions est-il possible d'avoir, après un nombre fini de coups, m+n+qm+n+q piles de 1 jeton ?


  • Math&Maroc

    Ta réponse est très bien!

    Pour l'exercice généralisé, il est très intéressant! Je vais y réfléchir (tu peux aussi le publier en unsolved pour que plus de gens cherchent avec nous ;) )


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