Bonjour,
il suffit de trouver toutes les paires (x,y)(x,y)(x,y) pour lesquelles xxx>yyy et x2+y2=k(xy)x^2+y^2=k(x-y)x​2​​+y​2​​=k(x−y)kkk divise 1995=357191995=3\cdot 5\cdot 7\cdot 191995=3⋅5⋅7⋅19. On va utiliser le théorème suivant (voir par exemple le livre de M. Aassila, 1000 challenges mathématiques algèbre, théorème 2.8 page 293 pour une démonstration et de nombreuses applications) : si ppp est un nombre premier de la forme 4q+34q+34q+3 et si px2+y2p\vert x^2+y^2p∣x​2​​+y​2​​ alors pxp\vert xp∣x et pyp\vert yp∣y. Si kkk est divisible par 3, alors xxx et yyy sont divisibles par 3 aussi. En simplifiant par 9 on obtient une égalité de la forme x12+y12=k1(x1y1)x_1^2+y_1^2=k_1(x_1-y_1)x​1​2​​+y​1​2​​=k​1​​(x​1​​−y​1​​)k1k_1k​1​​ divise 57195\cdot 7\cdot 195⋅7⋅19. En considérant 7 et 9 on obtient de façon similaire une équation de la forme a2+b2=5(ab)a^2+b^2=5(a-b)a​2​​+b​2​​=5(a−b), avec aaa>bbb (il n'est pas possible d'obtenir une une égalité de la forme a2+b2=aba^2+b^2=a-ba​2​​+b​2​​=a−b). D'où, (2a5)2+(2b5)2=50(2a-5)^2+(2b-5)^2=50(2a−5)​2​​+(2b−5)​2​​=50, c'est-à-dire a=3,b=1a=3,b=1a=3,b=1 ou a=2,b=1a=2,b=1a=2,b=1. Ainsi, les paires recherchées sont du type (3c,c),(2c,c),(c,3c),(c,2c)(3c,c),(2c,c),(c,3c),(c,2c)(3c,c),(2c,c),(c,3c),(c,2c)c=1,3,7,19,37,319,719,3719c=1,3,7,19,3\cdot 7,3\cdot 19,7\cdot 19,3\cdot 7\cdot 19c=1,3,7,19,3⋅7,3⋅19,7⋅19,3⋅7⋅19.