Soit fff solution. Pour t un réel différent de 0 et 1,on pose g(t)=1/(1t) g(t) = 1/(1-t) g(t)=1/(1−t). On remarque qu’on a ggg=Idg\circ g\circ g = Idg∘g∘g=Id. Soit xxx un réel différent de 0 et 1. On a alors :
f(x)=xf(g(x)) f(x) = x-f(g(x))f(x)=x−f(g(x)), donc
f(g(x))=g(x)f(g(g(x)))f(g(x))= g(x) - f(g(g(x)))f(g(x))=g(x)−f(g(g(x))) et donc
f(g(g(x)))=g(g(x))f(x)f(g(g(x))) = g(g(x)) - f(x)f(g(g(x)))=g(g(x))−f(x)

Comme ggg=Idg\circ g\circ g = Idg∘g∘g=Id, on en conclut

2f=gg+Idg 2f= g\circ g + Id -g2f=g∘g+Id−g.
On conclut donc que nécessairement
f(x)=(x3x+1)/(2x(x1))f(x) = (x^3 -x+1)/(2x(x-1))f(x)=(x​3​​−x+1)/(2x(x−1))

Réciproquement on considère cette fonction, et on vérifie par le calcul qu’elle vérifie bien l'équation fonctionelle.